Matematiksel tümevarım, doğru veya yanlış ifadeleri kanıtlamak için kullanılan tümdengelimli bir yöntemdir.
Lisede matematik indüksiyonu okumuş olmalısın. Bildiğimiz gibi, matematiksel tümevarım matematiksel mantığın bir uzantısıdır.
Uygulamasında, matematiksel mantık, yanlış veya doğru, eşdeğer veya olumsuz olan ifadeleri incelemek ve sonuç çıkarmak için kullanılır.
Temel konseptler
Matematiksel tümevarım, doğru veya yanlış ifadeleri kanıtlamak için kullanılan tümdengelimli bir yöntemdir.
Süreçte, genel olarak kabul edilen ifadelerin geçerliliğine dayalı olarak sonuçlar çıkarılır, böylece belirli ifadeler de doğru olabilir. Ek olarak, matematiksel tümevarımdaki bir değişken de doğal sayı kümesinin bir üyesi olarak kabul edilir.
Temel olarak, matematiksel tümevarımda bir formül veya ifadenin doğru veya tam tersi olup olmadığını kanıtlamak için üç adım vardır.
Bu adımlar şunlardır:
- N = 1 için bir ifadenin veya formülün doğru olduğunu kanıtlayın.
- N = k için bir ifadenin veya formülün doğru olduğunu varsayın.
- N = k + 1 için bir ifadenin veya formülün doğru olduğunu kanıtlayın.
Yukarıdaki adımlardan, bir ifadenin n = k ve n = k + 1 için doğrulanabilir olması gerektiğini varsayabiliriz.
Matematiksel Tümevarım Türleri
Matematiksel tümevarım yoluyla çözülebilecek çeşitli matematiksel problemler vardır. Bu nedenle matematiksel tümevarım, seri, bölme ve eşitsizlik olmak üzere üç türe ayrılabilir.
1. Seri
Bu tür serilerde genellikle matematiksel tümevarım problemi ardışık toplama şeklinde bulunur.
Yani seri probleminde gerçek ilk terimde, k teriminde ve th teriminde (k + 1) ispatlanmalıdır.
2. Bölüm
Bölme matematik indüksiyon türleri, aşağıdaki cümleleri kullanan çeşitli problemlerde bulunabilir:
- a, b ile bölünebilir
- b faktörü a
- b, a'yı böler
- a katları b
Bu dört özellik, ifadenin bölme tipi matematiksel tümevarım kullanılarak çözülebileceğini gösterir.
Hatırlanması gereken şey, eğer a sayısı b ile bölünebiliyorsa, a = bm, burada m bir tam sayıdır.
3. Eşitsizlik
Eşitsizliğin türü, ifadede bulunandan daha fazla veya daha az bir işaret ile belirtilir.
Matematiksel tümevarım eşitsizliklerinin çözümünde sıklıkla kullanılan özellikler vardır. Bu özellikler:
- a> b> c ⇒ a> c veya a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc veya a> b ve c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c veya a> b ⇒ a + c> b + c
Original text
Matematiksel Tümevarım Problemlerine Örnek
Aşağıdaki örnek bir problemdir, böylece matematiksel tümevarımı kullanarak bir formül ispatını nasıl çözeceğinizi daha iyi anlayabilirsiniz.
Kürek çekmek
örnek 1
Her n doğal sayı için 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1) 'i ispatlayın.
Cevap:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Her n ∈ N için n = (n) 'nin doğru olduğu kanıtlanacaktır.
İlk Adım :
N = (1) 'in doğru olduğu gösterilecektir.
2 = 1 (1 + 1)
Öyleyse, P (1) doğru
İkinci Adım :
N = (k) 'nin doğru olduğunu varsayın, yani
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Üçüncü adım
N = (k + 1) 'in de doğru olduğu gösterilecektir, yani
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Varsayımlardan:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
U k + 1 ile her iki tarafı da ekleyin :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Yani n = (k + 1) doğrudur
Örnek 2
Denklemleri kanıtlamak için matematiksel tümevarımı kullanın
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2, tüm n ≥ 1 tam sayıları için .
Cevap:
İlk Adım :N = (1) 'in doğru olduğu gösterilecektir.
S1 = 1 = 12
İkinci adım
N = (k) 'nin doğru olduğunu varsayalım, yani
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Üçüncü adım
N = (k + 1) 'in doğru olduğunu kanıtlayın
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2 olduğunu unutmayın
sonra
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
sonra yukarıdaki denklem kanıtlanır
Örnek 3
1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2'nin her n doğal sayı için doğru olduğunu kanıtlayın
Cevap:
İlk Adım :
N = (1) 'in doğru olduğu gösterilecektir.
1 = 12
Öyleyse, P (1) doğru
İkinci Adım :
N = (k) 'nin doğru olduğunu varsayın, yani
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Üçüncü adım :
N = (k + 1) 'in de doğru olduğu gösterilecektir, yani
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Varsayımlardan:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
U k + 1 ile her iki tarafı da ekleyin :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Yani n = (k + 1) de doğrudur
Bölünme
Örnek 4
N3 + 2n'nin her n doğal sayı için 3'e bölünebileceğini kanıtlayın
Cevap:
İlk Adım :
N = (1) 'in doğru olduğu gösterilecektir.
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Yani n = (1) doğru
Ayrıca şunu okuyun: Komünist İdeolojinin Anlayışı ve Özellikleri + Örneklerİkinci Adım :
N = (k) 'nin doğru olduğunu varsayın, yani
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Üçüncü adım:
N = (k + 1) 'in de doğru olduğu gösterilecektir, yani
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
M bir tam sayı ve k doğal bir sayı olduğundan, (m + k2 + k + 1) bir tamsayıdır.
P = (m + k2 + k + 1) varsayalım, sonra
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, burada p ∈ ZZ
Yani n = (k + 1) doğrudur
Eşitsizlik
Örnek 5
Her doğal sayı için n ≥ 2'nin geçerli olduğunu kanıtlayın
3n> 1 + 2n
Cevap:
İlk Adım :
N = (2) 'nin doğru olduğu gösterilecektir
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Öyleyse, P (1) doğru
İkinci Adım :
N = (k) 'nin doğru olduğunu varsayın, yani
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Üçüncü adım:
N = (k + 1) 'in de doğru olduğu gösterilecektir, yani
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (çünkü 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (çünkü 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Yani n = (k + 1) de doğrudur
Örnek 6
Her doğal sayı için n ≥ 4'ün geçerli olduğunu kanıtlayın
(n + 1)! > 3n
Cevap:
İlk Adım :
N = (4) 'ün doğru olduğu gösterilecektir.
(4 + 1)! > 34
sol taraf: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
sağ taraf: 34 = 81
Yani, n = (4) doğrudur
İkinci Adım :
N = (k) 'nin doğru olduğunu varsayın, yani
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Üçüncü adım:
N = (k + 1) 'in de doğru olduğu gösterilecektir, yani
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (çünkü (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (çünkü k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Yani n = (k + 1) de doğrudur