İkinci dereceden denklem , ikinin en yüksek kuvvetine sahip değişkenin matematiksel denklemlerinden biridir.
İkinci dereceden bir denklemin veya PK'nin genel formu aşağıdaki gibidir:
ax 2 + bx + c = 0
burada x değişken, a , b katsayı ve c sabittir. A'nın değeri sıfıra eşit değildir.
Grafik Şekilleri
İkinci dereceden bir denklem kartezyen koordinatlar (x, y) cinsinden tanımlanırsa, parabolik bir grafik oluşturur. Bu nedenle ikinci dereceden denklemlere genellikle parabolik denklemler adı verilir .
İşte bu denklemin biçiminin parabolik bir grafik biçiminde bir örneği
Genel denklemde a , b ve c değerleri ortaya çıkan parabolik modeli büyük ölçüde etkiler.
Değeri bir parabolün içbükey veya dışbükey eğri belirler. A> 0 değeri ise , parabol açılacaktır (içbükey) . Tersine, <0 ise , parabol aşağı doğru açılacaktır (dışbükey) .
Denklemdeki b değeri parabolün tepe noktasını belirler . Başka bir deyişle, x = - b / 2a'ya eşit olan eğrinin simetri ekseninin değerini belirleyin .
Denklem grafiğindeki sabit değer c , y eksenindeki parabol fonksiyonunun kesişme noktasını belirler . Aşağıdaki, c sabit değerinde değişiklikler olan parabolik bir grafiktir .
Kuadratik Denklemin (PK) Kökleri
İkinci dereceden bir denklemin çözümüne ikinci dereceden denklemin kökü kar denir .
Çeşitli PK Kökleri
PK kök tipleri, ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 için genel denklemden D = b2 - 4ac genel formülü kullanılarak kolayca bulunabilir.
Aşağıdakiler, ikinci dereceden denklemlerin kök türleridir.
1. Gerçek Kök (D> 0)
Bir PK'den D'nin değeri> 0 ise, farklı köklere sahip gerçek denklem kökleri üretecektir. Diğer bir deyişle x1, x2 ile aynı değildir.
Gerçek kök denklemi örneği (D> 0)
X2 + 4x + 2 = 0 denkleminin kök türünü bulun.
Yerleşme:
a = 1; b = 4; ve c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8
D'nin değeri> 0 olduğundan, kök, gerçek kök türündedir.
2. Gerçek kök eşittir x1 = x2 (D = 0)
Aynı değere (x1 = x2) sahip kökler üreten ikinci dereceden bir denklemin bir tür köküdür.
Gerçek kök örnekleri (D = 0)
2x2 + 4x + 2 = 0'ın PK kök değerini bulun.
Ayrıca şunu okuyun: Su Döngüsü Türleri (+ Tam Resim ve Açıklama)Yerleşme:
a = 2; b = 4; c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (2) (2)
D = 16 - 16
D = 0
Yani D = 0 olduğu için, köklerin gerçek ve ikiz olduğu kanıtlanmıştır.
3. Hayali Kökler / Gerçek Değil (D <0)
D'nin değeri <0 ise, ikinci dereceden denklemin kökü sanal olacaktır / gerçek olmayacaktır.
Hayali kök örnekleri (D <0) /
X2 + 2x + 4 = 0 denkleminin kök türünü bulun.
Yerleşme:
a = 1; b = 2; c = 4
D = b2 - 4ac
D = 22 - 4 (1) (4)
D = 4 - 16
D = -12
Demek ki D <0 değeri, denklemin kökü gerçek olmayan veya hayali bir köktür.
İkinci Dereceden Denklemin Köklerini Bulun
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için kullanılabilecek birkaç yöntem vardır. Bunların arasında çarpanlara ayırma, mükemmel kareler ve abc formülünü kullanma vardır.
Aşağıda denklem köklerini bulmak için çeşitli yöntemler açıklanmaktadır.
1. Faktorizasyon
Çarpanlara ayırma / faktoring , çarpılırsa başka bir değer üretecek bir değer arayarak kök bulma yöntemidir .
Farklı kök çarpanlarına ayırmaya sahip üç ikinci dereceden denklem (PK) biçimi vardır, yani:
| Hayır. | Denklem formu | Kök-Kök Ayrıştırma |
| 1 | x 2 + 2xy + y 2 = 0 | (x + y) 2 = 0 |
| 2 | x 2 - 2xy + y 2 = 0 | (x - y) 2 = 0 |
| 3 | x 2 - y 2 = 0 | (x + y) (x - y) = 0 |
Aşağıda ikinci dereceden denklemlerde çarpanlara ayırma yönteminin kullanılmasıyla ilgili bir problem örneği verilmiştir.
Çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak 5x 2 + 13x + 6 = 0 ikinci dereceden denklemi çözün .
Yerleşme:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(5x + 3) (x + 2) = 0
5x = -3 veya x = -2
Yani, çözümün sonucu x = -3/5 veya x = -2
2. Mükemmel Kareler
Bir mükemmel kuadratik formu ikinci dereceden denklem olan rasyonel sayılar üretir .
Mükemmel bir ikinci dereceden denklemin sonuçları genellikle aşağıdaki formülü kullanır:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
Mükemmel ikinci dereceden denklemin genel çözümü aşağıdaki gibidir:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
(x + p) 2 = q ile, o zaman:
(x + p) 2 = q
x + p = ± q
x = -p ± q
Aşağıda, mükemmel denklem yönteminin kullanılmasıyla ilgili bir problem örneği verilmiştir.
Mükemmel ikinci dereceden denklem yöntemini kullanarak x2 + 6x + 5 = 0 denklemini çözün!
Yerleşme:
x2 + 6x +5 = 0
x2 + 6x = -5
Bir sonraki adım, tam kareye dönüşebilmesi için sağ ve sol taraflara bir sayı eklemektir .
x2 + 6x + 9 = -5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x + 3) 2 = 4
(x + 3) = √4
x = 3 ± 2
Yani nihai sonuç x = -1 veya x = -5
Ayrıca şunu okuyun: Eşsesli, Eşsesli ve Eş anlamlıların Tanımı ve Farkı3. ABC İkinci Dereceden Formüller
İkinci dereceden denklem çarpanlara ayırma veya mükemmel ikinci dereceden yöntemlerle çözülemediğinde abc formülü alternatif bir seçimdir.
Aşağıdaki, ikinci dereceden denklem ax2 + bx + c = 0 için abc formülüdür .
Aşağıda, abc formülünü kullanarak ikinci dereceden denklem problemini çözmenin bir örneği verilmiştir .
Abc formül yöntemini kullanarak x2 + 4x - 12 = 0 denklemini çözün!
Yerleşme:
x2 + 4x - 12 = 0
burada a = 1, b = 4, c = -12
Yeni Bir Kuadratik Denklem Oluşturmak
Daha önce denklemin köklerini nasıl bulacağımızı öğrendiysek, şimdi daha önce bilinen köklerden ikinci dereceden denklemi oluşturmayı öğreneceğiz.
İşte yeni bir PK oluşturmanın birkaç yolu.
1. Kökler bilindiğinde denklemler oluşturun
Bir denklemin kökleri x1 ve x2 ise, bu kökler için denklem şu şekilde ifade edilebilir:
(x- x 1 ) (x- x 2 ) = 0
Misal:
Köklerin -2 ile 3 arasında olduğu ikinci dereceden bir denklem bulun.
Yerleşme:
x 1 = -2 ve x 2 = 3
(x - (- 2)) (x-3) = 0
(x + 2) (x + 3)
x2-3x + 2x-6 = 0
x2-x-6 = 0
Yani, bu kökler için denklemin sonucu x2-x-6 = 0
2. Köklerin sayısını ve ürününü biliyorsanız ikinci dereceden bir denklem oluşturun
İkinci dereceden denklemin x1 ve x2 sayıları ve sayıları biliniyorsa, ikinci dereceden denklem aşağıdaki forma dönüştürülebilir.
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
Misal:
Kök 3 ve 1/2 olan ikinci dereceden bir denklem bulun.
Yerleşme:
x 1 = 3 ve x 2 = -1/2
x 1+ x 2 = 3-1/ 2 = 6/2 - 1/2 = 5/2
x 1. x 2 = 3 (-1/2) = -3/2
Bu nedenle, ikinci dereceden denklem:
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (her bir taraf 2 ile çarpılır)
2x2-5x-3 = 0
Yani, 3 ve 1/2 kökleri için ikinci dereceden denklem 2x2-5x-3 = 0'dır.